{"id":761,"date":"2016-02-16T09:35:28","date_gmt":"2016-02-16T08:35:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/?p=761"},"modified":"2020-02-23T21:38:15","modified_gmt":"2020-02-23T20:38:15","slug":"numero-3-2010-article-5-baroin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/2016\/02\/16\/numero-3-2010-article-5-baroin\/","title":{"rendered":"De Newton \u00e0 Riemann, Graphes et Graphisme : Interactions Math\u00e9matico-Musico-Plastiques"},"content":{"rendered":"

Gilles Baroin<\/strong>
\nDoctorant et Ing\u00e9nieur, INSA Lyon, Universit\u00e9 Toulouse – Jean Jaur\u00e8s
\ngilles\/@\/baroin.org<\/a><\/p>\n

Pour citer cet article : Baroin, Gilles, \u00ab De Newton \u00e0 Riemann, Graphes et Graphisme : Interactions Math\u00e9matico-Musico-Plastiques. \u00bb, Litter@ Incognita <\/i>[En ligne], Toulouse : Universit\u00e9 Toulouse Jean Jaur\u00e8s, n\u00b03 \u00ab Les Interactions II \u00bb, 2010, mis en ligne en 2010, disponible sur <https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/2018\/01\/09\/la-ville-contemp\u2026ite-au-generique\/<\/a>>.<\/p>\n

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R\u00e9sum\u00e9
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Sir Isaac Newton, fascin\u00e9 par l\u2019interaction de la lumi\u00e8re au travers d\u2019un prisme, fut le premier \u00e0 l\u2019\u00e9tudier et l\u2019expliquer ; il dessina son cercle chromatique en associant couleurs et notes de musique. Hugo Riemann formalisa le Tonnetz<\/em> (r\u00e9seau de tons), graphe repr\u00e9sentant certaines relations entre notes de musiques (au sens classe de hauteur). De nos jours les th\u00e9ories N\u00e9o-Riemanniennes et leurs applications continuent de passionner les math\u00e9matico-musiciens. L\u2019originalit\u00e9 du mod\u00e8le \u00ab\u00a0Plan\u00e8tes 4D \u00bb, appliqu\u00e9 ici \u00e0 diff\u00e9rents styles de musique, est principalement sa repr\u00e9sentation en hyperespace sym\u00e9trique. Le mod\u00e8le a \u00e9t\u00e9 test\u00e9 \u00e0 l\u2019aide d\u2019un logiciel interactif avec diff\u00e9rents musiciens sp\u00e9cialistes dans leur domaine. Cette article pr\u00e9sente l\u2019int\u00e9r\u00eat et les limites du syst\u00e8me exp\u00e9rimental appliqu\u00e9 \u00e0 diff\u00e9rentes vari\u00e9t\u00e9s de musiques conventionnelles et propose des possibilit\u00e9s d\u2019am\u00e9lioration du syst\u00e8me en fonction des cas \u00e9tudi\u00e9s.<\/p>\n

Mots-cl\u00e9s : <\/strong>math\u00e9matiques – musique – math\u00e9matico-musique – Tonnetz – hyperespace – harmonie – visualisation g\u00e9om\u00e9trique<\/p>\n

Abstract
\n<\/strong><\/h3>\n

Sir Isaac Newton was the first to ever study and explain the interaction between light and a glass prism. He connected graphically along his \u00ab\u00a0chromatic circle\u00a0\u00bb colors and music notes. Later, Hugo Riemann formulated the Tonnetz<\/em> (German word for tone network), a graph displaying particular relations between musical notes described now as \u00ab\u00a0pitch classes\u00a0\u00bb. Nowadays, the Neo-Riemannian theory is still used and researches are performed by mathematico-musicians. The \u00ab\u00a0Planet-4D\u00a0\u00bb model is an original way of representing symmetrically the same pitch space in 4 dimensions. Associated to a piece of software, the system becomes interactive and is tested with different kinds of conventional music: Jazz, Techno, Rap, each variety being performed by a specialist in his field. This paper presents the limits, results and relevance of the system, and proposes some improvements to fit better the requirements of the musicians.<\/p>\n

Key-words: <\/strong>mathematics – music – mathematical music – Tonnetz – hyperspace – harmony – geometrical visualization
\n<\/strong><\/p>\n

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Sommaire\u00a0<\/strong><\/h3>\n

1. Interactions musico-g\u00e9om\u00e9triques<\/a>
\n2. Interactions homme-machine<\/a>
\n3. Conclusions et perspectives<\/a>
\nNotes<\/a>
\nBibliographie<\/a><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Quel genre d\u2019interactions pouvons-nous imaginer entre des domaines a priori tr\u00e8s distincts tels que la physique, la musique, les math\u00e9matiques, et l\u2019art ? Tout le monde sait en parler, chacun selon sa propre id\u00e9e et suivant ses propres exp\u00e9riences. Lors de cette \u00e9tude nous montrerons quelques aspects originaux concernant des interactions entre les math\u00e9matiques et la musique, ainsi que des r\u00e9sultats d\u2019exp\u00e9riences de musique g\u00e9n\u00e9r\u00e9e en partie par un ordinateur interfac\u00e9 avec un musicien.<\/p>\n

Les relations entre math\u00e9matiques et musique sont tr\u00e8s \u00e9tudi\u00e9es et vari\u00e9es, nous nous int\u00e9resserons ici \u00e0 deux sp\u00e9cialit\u00e9s pr\u00e9cises de ces deux domaines : la g\u00e9om\u00e9trie (en particulier dans le cas ou un mod\u00e8le physique peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9) et les classes de hauteurs (ensemble de douze notes ou degr\u00e9s chromatiques) telles que d\u00e9crites par exemple dans la set theory d\u2019Allen Forte1,<\/a><\/sup>2<\/a><\/sup> et utilis\u00e9es par exemple pour la conduite parcimonieuse de voix3<\/a><\/sup>. Cet article se place dans ce cadre.<\/p>\n

Nous montrerons plusieurs mod\u00e8les g\u00e9om\u00e9triques utilis\u00e9s qui placent les notes de musique dans des espaces plus ou moins intuitifs et plus ou moins pertinents. Nous pr\u00e9senterons enfin des exemples musicaux d\u2019interactions effectu\u00e9es entre l\u2019homme et la machine : jouer ou travailler la musique, l\u2019apprendre. Ces exemples ont \u00e9t\u00e9 cr\u00e9es interactivement avec le logiciel exp\u00e9rimental Planet-Loops,<\/em> g\u00e9n\u00e9rant un accompagnement musical et visuel selon un parcours harmonique pr\u00e9d\u00e9fini ou al\u00e9atoire. Le parcours peut \u00eatre g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par l\u2019ordinateur ou interactivement par le musicien ou un formateur.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

1. Interactions musico-g\u00e9om\u00e9triques<\/h2>\n

1. 1. Le cercle de Newton<\/h3>\n

L\u2019interaction de la lumi\u00e8re traversant un prisme et se d\u00e9composant en arc-en ciel fascina \u00e0 l\u2019\u00e9poque Sir Isaac Newton qui fut le premier \u00e0 l\u2019\u00e9tudier et \u00e0 l\u2019expliquer4<\/a><\/sup>. Il avait observ\u00e9 que lorsqu\u2019un rayon de lumi\u00e8re solaire p\u00e9n\u00e8tre un prisme en verre selon un certain angle, une partie du rayon le traverse et se d\u00e9compose en bandes color\u00e9es.<\/p>\n

Il pensait que la lumi\u00e8re \u00e9tait faite de corpuscules de diff\u00e9rentes couleurs, et que chaque couleur traversait le prisme \u00e0 sa propre vitesse. La lumi\u00e8re rouge \u00e9tant la plus rapide (la violette la plus lente), elle \u00e9tait par cons\u00e9quent la moins d\u00e9vi\u00e9e, ce qui cr\u00e9ait l\u2019effet spectaculaire du spectre de couleurs. Il choisit sept couleurs : rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo et violet, et y associa les sept notes de musique de la gamme.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Le cercle original de Newton<\/p><\/div>\n

\"\"<\/a>

Le cercle chromatique de Newton, coloris\u00e9<\/p><\/div>\n

\u00c0 cette \u00e9poque, il n\u2019\u00e9tait pas encore question de gamme chromatique, ou de th\u00e9orie moderne pla\u00e7ant douze notes le long d\u2019un cercle ou dans un espace. La gamme conventionnelle contient sept notes (do, r\u00e9, mi, fa, sol, la, si) que l\u2019on peut transcrire avec des lettres (A, B, C, D, E, F, G). La lettre \u00ab A \u00bb correspondant \u00e0 la note \u00ab La \u00bb, Newton a de plus dispos\u00e9 les sept notes de la gamme diatonique autour de son illustration, en associant ainsi une couleur \u00e0 une note, et ordonn\u00e9 les sept notes de fa\u00e7on g\u00e9om\u00e9trique : le long d\u2019un cercle.<\/p>\n

Depuis, la physique moderne nous a apport\u00e9 d\u2019autres explications concernant la diffraction de la lumi\u00e8re, mais la d\u00e9composition de Newton fut pertinente et originale et il fut le premier \u00e0 associer notes, couleurs, et g\u00e9om\u00e9trie. La figure suivante propose une colorisation moderne du cercle original de Newton en ajoutant artificiellement le magenta (qui n\u2019est pas une couleur spectrale). Le cercle noir et blanc, et les annotations d\u2019\u00e9poques sont pr\u00e9sents sur ce dessin.<\/p>\n

1. 2. Les Tonnetze<\/em><\/h3>\n

A chaque \u00e9poque, des th\u00e9oriciens imagin\u00e8rent des illustrations et mod\u00e8les g\u00e9om\u00e9triques d\u00e9crivant certaines relations privil\u00e9gi\u00e9es entre notes ou accords, en g\u00e9n\u00e9ral connues des musiciens.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Euler : Speculum Musicum, 1773<\/p><\/div>\n

Un Tonnetz<\/em>, (Tonal Net) traduit de l\u2019allemand par \u00ab r\u00e9seau de tons \u00bb, est une repr\u00e9sentation imagin\u00e9e par le math\u00e9maticien Leonard Euler en 1739. Les premiers Tonnetze<\/em> furent mis en pratique par le musicologue Hugo Riemann (1849-1919)5<\/a><\/sup>. Dans un Tonnetz<\/em>, certaines valeurs de notes sont reli\u00e9es entre elles ou plac\u00e9es dans les cases adjacentes d\u2019une grille sur un dessin plan. Dans un cadre tonal, tel qu\u2019il fut imagin\u00e9 \u00e0 l\u2019origine, le Tonnetz<\/em> se pr\u00e9sentait comme un r\u00e9seau plan. Depuis, nombre de chercheurs ont consid\u00e9r\u00e9 ces mod\u00e8les, et propos\u00e9 d\u2019autres repr\u00e9sentations inspir\u00e9es de celle d\u2019Hugo Riemann. Ce sont des repr\u00e9sentations planes ou tridimensionnelles de ces r\u00e9seaux, compos\u00e9es de cercles, plans, hexagones, cubes ou tores. Dans le cadre atonal, le Tonnetz<\/em> se repr\u00e9sente habituellement sous la forme d\u2019un Tore 3D, ou d\u2019un graphe dit \u00ab Grille-Torique 3×4 \u00bb<\/p>\n

Au dessin du Tonnetz<\/em> original d\u2019Hugo Riemann, ont \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9es des fl\u00e8ches color\u00e9es montrant les intervalles le composant : tierces majeures (rouge), tierces mineures (vert) et quintes (bleu). Les notes seront consid\u00e9r\u00e9es ici comme classes de hauteur (pitch classes<\/em>) et repr\u00e9sent\u00e9es dans des espaces de hauteurs (pitch spaces<\/em>). Lorsqu\u2019il s\u2019agira d\u2019accords, nous parlerons d\u2019espace d\u2019accords (chordal space<\/em>).<\/p>\n

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Le Tonnetz d\u2019Hugo Riemann<\/p><\/div>\n

Ainsi le Tonnetz<\/em> est-il constitu\u00e9 de points : les notes ; et son espace dual form\u00e9 d\u2019accords \u00e0 trois sons. Un espace dual se calcule en intervertissant les r\u00e9gions et les points de l\u2019espace. L\u2019espace dual du Tonnetz<\/em> correspond \u00e0 la carte des r\u00e9gions de Schoenberg (cf. partie suivante). Le mod\u00e8le \u00ab Plan\u00e8tes 4D \u00bb quant \u00e0 lui, peut \u00eatre interpr\u00e9t\u00e9 soit comme espace de notes, soit comme espace d\u2019accords selon les besoins et les circonstances.<\/p>\n

1. 3. L\u2019espace des accords<\/h3>\n

Le th\u00e9oricien allemand de la musique G. Weber (1779-1839)6<\/a><\/sup> repr\u00e9senta graphiquement des relations entre accords majeurs et mineurs \u00e0 l\u2019aide de ce que nous appelons aujourd\u2019hui en math\u00e9matiques un graphe grille.<\/p>\n

\"\"<\/a>

La repr\u00e9sentation de Weber<\/p><\/div>\n

Ce graphe inspira par la suite Arnold Schoenberg (1874-1951) qui cr\u00e9a la carte des r\u00e9gions. La carte des r\u00e9gions de Schoenberg se pr\u00e9sentent sous deux formes\u00a0compl\u00e9mentaires : une forme o\u00f9 les accords sont nomm\u00e9s, ainsi qu\u2019une forme ou les fonctions sont mentionn\u00e9es.<\/p>\n

\"\"<\/a>

L\u2019espace des accords de Schoenberg avec les accords nomm\u00e9s<\/p><\/div>\n

Dans le premier dessin, Schoenberg repr\u00e9sente les accords majeurs et mineurs par leur nom, (C pour Do majeur, A pour La mineur) et n\u2019indique aucune fonction hi\u00e9rarchique, il y montre seulement le voisinage d\u2019un accord sans y ajouter de sens. C\u2019est un simple placement spatial des accords sur une grille sans volont\u00e9, sans hi\u00e9rarchie ni pr\u00e9vision de parcours harmonique, ni discours. La repr\u00e9sentation des accords nomm\u00e9s nous montre simplement tous les chemins possibles, c\u2019est un simple dessin, il n\u2019y a pas de discours.<\/p>\n

\"\"<\/a>

L\u2019espace des accords de Schoenberg avec les fonctions<\/p><\/div>\n

Par contre, en ce qui concerne la repr\u00e9sentation sous forme de fonctions, bien qu\u2019\u00e0 chaque accord soit associ\u00e9 une fonction harmonique, il n\u2019apparait pas encore de signifiant, il s\u2019agit de signifiance organis\u00e9e pour produire du sens : un potentiel de production de sens. La Tonique, au centre du sch\u00e9ma, ne prendra sa fonction de Tonique que lorsque qu\u2019elle sera plac\u00e9e dans un sch\u00e9ma global. Il faudra que ses voisins existent pour lui donner sa fonction. Ce sch\u00e9ma pr\u00e9sente un discours en activit\u00e9 pas encore achev\u00e9.<\/p>\n

\"\"<\/a>

L\u2019espace des accords de Schoenberg 3D<\/p><\/div>\n

\u00c0 l\u2019espace des accords de Schoenberg, ont \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9es les fl\u00e8ches color\u00e9es montrant les relations harmoniques. En rouge : vers la dominante, en vert : vers l\u2019homonyme, en bleu : vers la relative.<\/p>\n

Il est possible de repr\u00e9senter cet espace en 3D, \u00e0 l\u2019instar de la figure suivante. La notation des accords est celle utilis\u00e9e par Schoenberg. La variation des couleurs se fait selon le cycle des quintes.<\/p>\n

1. 4. D\u00e9composition math\u00e9matique de l\u2019espace<\/h3>\n

Selon des m\u00e9thodes math\u00e9matiques diff\u00e9rentes, les th\u00e9oriciens de la musique ont d\u00e9montr\u00e9 que l\u2019espace des hauteurs du syst\u00e8me temp\u00e9r\u00e9 \u00e0 douze notes peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme combinaison de tierces majeures et mineures. G\u00e9rard Balzano7<\/a><\/sup> montre que ce syst\u00e8me \u00ab poss\u00e8de la structure d\u2019un groupe cyclique d\u2019ordre douze not\u00e9 C12, isomorphe au produit de deux de ses sous groupes C3 et C4 \u00bb. Thomas Noll8<\/a><\/sup> utilise le concept d\u2019un module \u00e0 douze tons not\u00e9 T12, et d\u00e9montre sa d\u00e9composition T12=T3\u2a02T4 avec T3 et T4 \u00e9tant deux sous-modules de T12 qu\u2019il appelle \u00ab cercles externes \u00bb (outer circles<\/em>). Guerino Mazzola9<\/a><\/sup> utilise la d\u00e9composition de Sylow : Z12=Z3\u2a02Z4. Gilles Baroin utilise le produit cart\u00e9sien de deux graphes cycles C3 x C4 pour construire le graphe \u00ab Planet Graph \u00bb \u00e0 douze sommets.<\/p>\n

Quelque soit la m\u00e9thode utilis\u00e9e, chaque note appartient \u00e0 un seul groupe de trois et un seul groupe de quatre notes, appel\u00e9s ensemble de tierces majeures et ensemble de tierces mineures.<\/p>\n

1. 5. Le tore des tierces<\/h3>\n
\"B9\"<\/a>

Le Tore des tierces \u00a9G.Mazzola encyclospace.org<\/p><\/div>\n

Le tore des tierces est une \u00e9vocation tridimensionnelle pertinente de l\u2019espace des hauteurs du temp\u00e9rament \u00e9gal. Ce mod\u00e8le qui fut introduit ind\u00e9pendamment par G. Mazzola et G. Balzano10<\/a><\/sup>, est appel\u00e9 commun\u00e9ment le \u00ab Tore des Tierces \u00bb. Il repr\u00e9sente l\u2019espace des hauteurs du temp\u00e9rament \u00e9gal et laisse apparaitre les propri\u00e9t\u00e9s particuli\u00e8res de la d\u00e9composition de l\u2019espace des notes en tierces majeures et tierces mineures. Le Tore des tierces est la repr\u00e9sentation moderne du Tonnetz<\/em>. Il fait apparaitre en trois dimensions les relations pr\u00e9sentes dans le Tonnetz<\/em> original d\u2019Hugo Riemann, ainsi que les sym\u00e9tries suivantes : L\u2019inversion (axe bleu), les rotations de 90\u00b0 et 120\u00b0 qui mat\u00e9rialisent les tierces majeures et mineures. Il laisse aussi apparaitre implicitement le cercle des quartes. D\u2019autre visualisations existent mais restent tridimensionnelles11<\/a><\/sup>.<\/p>\n

1. 6. Le mod\u00e8le \u00ab Plan\u00e8tes 4D \u00bb<\/h3>\n
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Une projection 3D du mod\u00e8le \u00ab Plan\u00e8tes 4D \u00bb<\/p><\/div>\n

Les mod\u00e8les pr\u00e9sent\u00e9s \u00e0 ce jour permettent de repr\u00e9senter l\u2019espace des douze notes d\u00e9compos\u00e9 en tierces, de fa\u00e7on fonctionnelle et pertinente mais pas totalement sym\u00e9trique\u00a0: le tore poss\u00e8de en effet un petit et un grand rayon ! Afin que chaque tierce soit de m\u00eame longueur g\u00e9om\u00e9trique dans un mod\u00e8le physique, le mod\u00e8le devra se situer en hyperespace\u00a0: ici de dimension quatre.<\/p>\n

La recherche du mod\u00e8le Planet, sa repr\u00e9sentation et ses applications sont d\u00e9taill\u00e9e dans ma th\u00e8se. En partant de conditions d\u2019hyper-sym\u00e9trie inspir\u00e9es du th\u00e9or\u00e8me de N\u00f6ther, nous avons montr\u00e9 au cours d\u2019un raisonnement d\u00e9ductif, illustr\u00e9 d\u2019exemples musicaux, que l\u2019ensemble des 12 classes de hauteurs peut se repr\u00e9senter pertinemment par un graphe dit \u00ab\u00a0graphe Plan\u00e8tes\u00a0\u00bb. Ce graphe se caract\u00e9rise parmi les graphes ab\u00e9liens de Cayley et nous en avons d\u00e9taill\u00e9 les propri\u00e9t\u00e9s remarquables.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Une projection 3D du mod\u00e8le \u00ab\u00a0Plan\u00e8tes 4D\u00a0\u00bb<\/p><\/div>\n

NB : Le mod\u00e8le n\u2019est pas seulement g\u00e9om\u00e9trique, il comporte aussi des sym\u00e9tries s\u00e9miotiques : les id\u00e9ogrammes bi-dimensionnels (forme et couleur) utilis\u00e9s pour la repr\u00e9sentation font partie du mod\u00e8le. Le mod\u00e8le est compos\u00e9 de carr\u00e9s et triangles, chaque sommet est \u00e0 l\u2019intersection d\u2019un carr\u00e9 et d\u2019un triangle. Nous avons associ\u00e9 chacun des param\u00e8tres de la d\u00e9composition de l\u2019espace des hauteurs \u00e0 un param\u00e8tre de l\u2019id\u00e9ogramme repr\u00e9sentant cette note. De ceci r\u00e9sulte 12 id\u00e9ogrammes bidimensionnels compos\u00e9s de quatre formes et trois couleurs diff\u00e9rentes.<\/p>\n

Le mod\u00e8le Planet peut s\u2019interpr\u00e9ter de deux fa\u00e7ons diff\u00e9rentes, statiquement en temps qu\u2019espace de hauteurs comme un Tonnetz<\/em>, ou dynamiquement en temps qu\u2019espace d\u2019accords. L\u2019interpr\u00e9tation statique est une repr\u00e9sentation des classes de hauteurs dans un espace g\u00e9om\u00e9trique, nous y remarquerons les propri\u00e9t\u00e9s des sym\u00e9tries calcul\u00e9es ainsi que les relations entre notes gr\u00e2ce au syst\u00e8me de formes et de couleurs.<\/p>\n

Lors de l\u2019interpr\u00e9tation dynamique, nous nous d\u00e9placerons virtuellement d\u2019un point \u00e0 un autre du mod\u00e8le, en g\u00e9n\u00e9rant en chaque endroit une note ou un accord (au sens large du terme), ayant pour base cette note. Les d\u00e9placements \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur du mod\u00e8le sont des propositions de modulation qui peuvent \u00eatre suivies par un Jazzman travaillant ses gammes ou un groupe de musicien relevant le d\u00e9fi de suivre un parcours harmonique al\u00e9atoire et sym\u00e9trique.<\/p>\n

Le mod\u00e8le 4D fait apparaitre de fa\u00e7on native les relations entre tierces et de fa\u00e7on sous-jacente les cercles des quartes \/ quintes et cercles chromatiques.<\/p>\n

La visualisation d\u2019un mod\u00e8le 4D n\u2019\u00e9tant pas ais\u00e9e avec un support tel que cet article, des repr\u00e9sentations vid\u00e9o en 3D et 4D sont disponibles sur ce site<\/a>.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

2. Interactions homme-machine<\/h2>\n

2. 1. Logiciel interactif<\/h3>\n

Le logiciel interactif \u00ab Planet-Loops \u00bb a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9 dans le but de montrer acoustiquement les possibilit\u00e9s d\u2019utilisation du mod\u00e8le Planet et de tester ses limites dans plusieurs environnements exp\u00e9rimentaux. \u00ab Planet-Loops \u00bb peut \u00eatre param\u00e9tr\u00e9 pour se d\u00e9placer dans diff\u00e9rents syst\u00e8mes de repr\u00e9sentation ou placement d\u2019accords. Il peut s\u2019adapter par exemple \u00e0 des parcours entre trois accords de Blues, le long d\u2019un Tonnetz<\/em> ou selon des r\u00e8gles param\u00e9trables pr\u00e9d\u00e9finies. Dans cette \u00e9tude nous montrerons essentiellement son utilisation avec le syst\u00e8me \u00ab Planet 4D \u00bb d\u00e9crit pr\u00e9c\u00e9demment et qui comporte exclusivement les relations de tierces majeures et mineures. Le syst\u00e8me math\u00e9matique sym\u00e9trique est \u00e0 l\u2019origine du mod\u00e8le devant conduire \u00e0 un environnement musical en espace clos, lui-m\u00eame sym\u00e9trique.<\/p>\n

Nous nous pla\u00e7ons dans un cadre de parcours de modulations, les sommets du mod\u00e8le \u00e9tant consid\u00e9r\u00e9s comme des accords ou des tonalit\u00e9s de base. L\u2019accord est consid\u00e9r\u00e9 ici au sens d\u2019un \u00ab accord de grille \u00bb tel que dans le Jazz ou le Rock, accord d\u2019accompagnement jou\u00e9 par exemple par le guitariste. Comme ce logiciel se situe dans un cadre g\u00e9n\u00e9ral, nous utiliserons les termes style, genre, rythme, m\u00e9lodie dans leur sens g\u00e9n\u00e9ralement compris par un large public m\u00e9lomane et non sp\u00e9cialiste de musicologie.<\/p>\n

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Un clavier arrangeur PSR \u00a9Yamaha<\/p><\/div>\n

Le logiciel est un arrangeur comportant les sections habituelles au monde des claviers arrangeurs (ex : Yamaha PSR) : l’accompagnement et la m\u00e9lodie. Les utilisateurs de claviers arrangeurs sont souvent des musiciens amateurs qui utilisent les possibilit\u00e9s de l\u2019accompagnement automatique pour cr\u00e9er leurs premi\u00e8res compositions ou s\u2019accompagner au chant sans avoir \u00e0 utiliser un ordinateur avec un s\u00e9quenceur qui demande une prise en main plus difficile. Les \u00ab\u00a0Live-Stylers \u00bbsont des pianistes de bar professionnels des temps modernes qui chantent en s\u2019accompagnant interactivement avec un clavier arrangeur haut de gamme. Ils proposent ainsi une solution interm\u00e9diaire entre le petit orchestre et la bande enregistr\u00e9e qui ne permet aucune interaction avec les r\u00e9actions du public. Comme avec un clavier ordinaire, dans notre logiciel, l\u2019artiste s\u00e9lectionne un style pr\u00e9d\u00e9fini (Jazz, Techno, Rock, Blues, \u2026), utilise les variations de style programm\u00e9es, ajoute une m\u00e9lodie et choisit un accord de base. Le logiciel \u00e9tant exp\u00e9rimental, il n\u2019a pas pr\u00e9tention \u00e0 rivaliser avec du mat\u00e9riel professionnel, mais pr\u00e9sente des possibilit\u00e9s en vue de d\u00e9veloppements futurs.<\/p>\n

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Interaction avec le logiciel \u00ab Planet-Loops \u00bb<\/p><\/div>\n

L\u2019originalit\u00e9 de l\u2019interaction r\u00e9side principalement dans le fait que l\u2019utilisateur peut interf\u00e9rer avec la production musicale en cours par l\u2019interm\u00e9diaire d\u2019un Joystick ou de toute autre interface configur\u00e9e pour le PC. L\u2019interface est employ\u00e9e pour modifier le style d\u2019accompagnement, la m\u00e9lodie en cours, et d\u00e9finir l\u2019accord utilis\u00e9. Le joystick pr\u00e9sente un caract\u00e8re ludique qui rassure le musicien amateur n\u2019ayant pas envie ou besoin de connaitre les notes et accords et qui d\u00e9sire quand m\u00eame suivre un Blues ou une autre grille. Les d\u00e9placements dans l\u2019espace d\u2019accords permettent \u00e0 l\u2019utilisateur de visualiser et d\u2019entendre les modulations simultan\u00e9ment.<\/p>\n

Il est bien s\u00fbr possible d\u2019interfacer le logiciel avec un vrai clavier \u00e9lectronique. Chaque style contient plusieurs motifs pour l\u2019accompagnement et pour la m\u00e9lodie. Le fichier Jazz contient par exemple six accompagnements rythmiques diff\u00e9rents (drums, bass, piano et combinaisons). Une section d\u2019accompagnement comporte jusqu\u2019\u00e0 huit motifs diff\u00e9rents que l\u2019ordinateur module et joue dans la tonalit\u00e9 choisie par le musicien. Il s\u2019agit bien de modulations et non de transpositions, la forme de l\u2019accord (son renversement) variant afin d\u2019\u00e9viter un changement trop brutal entre deux tonalit\u00e9s. La section m\u00e9lodique produira des phrases ou ensembles de phrases jou\u00e9es par les instruments, toujours dans la tonalit\u00e9 choisie.<\/p>\n

\"B14\"<\/a><\/p>\n

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Images issues de l\u2019interface du logiciel<\/p><\/div>\n

Le logiciel produit une boucle musicale dans la tonalit\u00e9 choisie, et propose des possibilit\u00e9s de modulation. Le choix du prochain accord peut \u00eatre d\u00e9cid\u00e9 par l\u2019ordinateur ou laiss\u00e9 \u00e0 l\u2019initiative du musicien ou d\u2019un tiers qui montre le parcours \u00e0 suivre. Il s\u2019agit en r\u00e9sum\u00e9 d\u2019une machine \u00e0 moduler coupl\u00e9e \u00e0 un arrangeur basique contr\u00f4lable sans aucune connaissance du solf\u00e8ge.<\/p>\n

L\u2019interface visuelle du logiciel comporte : \u00e0 gauche une repr\u00e9sentation de la position actuelle en 4D, \u00e0 droite une repr\u00e9sentation plane montrant les quatre directions possibles de modulation.<\/p>\n

2. 2. L\u2019exp\u00e9rience du jazz<\/h3>\n
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Enregistrement Jazz en Home Studio<\/p><\/div>\n

Pour l\u2019exp\u00e9rience Jazz, nous avons travaill\u00e9 avec des encha\u00eenements d\u2019accords, et une rythmique inspir\u00e9e de So What<\/em> de Miles Davis. Ce morceau est typique du Jazz modal, la grille comporte 8 mesures de R\u00e9 mineur ( not\u00e9 D-, parfois appel\u00e9 R\u00e9 dorien) suivies de 8 mesures de Mib mineur (Eb-). En suivant le mod\u00e8le \u00ab Planet \u00bb, il y a par cons\u00e9quent en chaque point quatre possibilit\u00e9s de modulation correspondant aux quatre accords mineurs ayant une note commune avec l\u2019accord en cours. Exemple : si nous sommes en Do-, les quatre possibilit\u00e9s seront La-, Mib-, Lab- et Mi-. Le fait d\u2019utiliser des accords mineurs sans relation fonctionnelle entre eux nous place bien dans un cadre de Jazz Modal. La diff\u00e9rence primordiale avec une session traditionnelle est que le musicien ne connait pas la grille par avance et ne calcule ses enchainements qu\u2019au dernier instant.<\/p>\n

Le syst\u00e8me \u00e0 \u00e9t\u00e9 test\u00e9 avec un pianiste professionnel exp\u00e9riment\u00e9 qui a pris plaisir \u00e0 l\u2019exp\u00e9rience inhabituelle de d\u00e9couvrir visuellement le prochain accord \u00e0 la vol\u00e9e.<\/p>\n

Au contraire du rappeur qui a besoin de stabilit\u00e9 harmonique, le musicien de jazz aime les modulations et tire une partie de son plaisir \u00e0 improviser en suivant une grille d\u2019accords changeants. Le Jazzman est habitu\u00e9 \u00e0 suivre une grille ou un ensemble de musiciens \u00e0 l\u2019oreille, il est tr\u00e8s sensible \u00e0 l\u2019harmonie. Dans le cas pr\u00e9sent, le pianiste jouait une partie d\u2019accompagnement compos\u00e9e d\u2019accords \u00e0 la main gauche et une partie solo \u00e0 la main droite. L\u2019improvisation s\u2019est d\u00e9roul\u00e9e en deux temps. Pour l\u2019introduction du morceau, l\u2019ordinateur marquait le tempo avec pour seul instrument le Charley (Cymbale ferm\u00e9e) tout en affichant \u00e0 l\u2019\u00e9cran le parcours harmonique propos\u00e9, le pianiste improvisait en suivant la grille dynamique. Une fois le musicien d\u00e9cid\u00e9, et \u00e0 sa demande, le logiciel \u00e0 ajout\u00e9 une ligne de basse ainsi qu\u2019une batterie plus compl\u00e8te, en vue de simuler le contexte du trio ou le pianiste joue des accords adapt\u00e9s \u00e0 gauche et un chorus \u00e0 droite.<\/p>\n

Dans cette exp\u00e9rience, c\u2019est l\u2019ordinateur qui d\u00e9cidait quasi-al\u00e9atoirement du parcours d\u2019accords. La r\u00e8gle \u00e9tant de passer par les douze sommets du mod\u00e8le une fois et une seule (ceci correspond en th\u00e9orie des graphes au chemin Hamiltonien). Il est pratiquement improbable que le musicien puisse deviner le prochain accord parmi les quatre possibilit\u00e9s. Chaque s\u00e9quence durant quatre mesures (\u00e0 tempo 140) la proposition apparaissait \u00e0 l\u2019\u00e9cran au d\u00e9but de la derni\u00e8re mesure, soit moins de deux secondes avant le changement d\u2019accord. Le pianiste avait assez de temps pour penser l\u2019encha\u00eenement \u00e0 venir, et le pr\u00e9parer. Le r\u00e9sultat donne un Jazz dans le style souhait\u00e9 mais qui ne comporte pas de fonction tonale ou de discours, \u00e0 contrario de So What<\/em> ou le morceau \u00e0 \u00e9t\u00e9 compos\u00e9, poss\u00e8de une structure, commence et termine dans la m\u00eame tonalit\u00e9.<\/p>\n

Dans un deuxi\u00e8me temps, nous avons augment\u00e9 progressivement la fr\u00e9quence de changement entre les modulations, for\u00e7ant ainsi le musicien \u00e0 un effort de calcul de plus en plus grand. Dans le cas pr\u00e9sent nous avons constat\u00e9 qu\u2019une fr\u00e9quence de changement d\u2019accords de deux par mesure 4\/4 \u00e0 Tempo 140 \u00e9tait la limite sup\u00e9rieure pour cet exercice, des fr\u00e9quences plus grandes n\u2019apportant plus le m\u00eame plaisir au musicien. Giant Steps<\/em>, compos\u00e9 et interpr\u00e9t\u00e9 par John Coltrane, est un morceau r\u00e9put\u00e9 difficile \u00e0 jouer, o\u00f9 les accords s\u2019enchainent aussi selon des tierces et bien plus rapidement, mais la grille est connue d\u2019avance.<\/p>\n

L\u2019outil permet ainsi de tester les capacit\u00e9s et la vitesse d\u2019adaptation du musicien. Afin de l\u2019am\u00e9liorer pour le Jazz il faudra l\u2019utiliser avec une plus grande vari\u00e9t\u00e9 d\u2019accords fondamentaux, de types de parcours, et envisager une interface montrant les deux accords suivants pr\u00e9vus par l\u2019ordinateur ou un instructeur.<\/p>\n

2. 3. L\u2019exp\u00e9rience du rap<\/h3>\n
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S\u00e9ance d\u2019enregistrement Rap<\/p><\/div>\n

Dans le style de Rap test\u00e9 ici, le motif de la boucle rythmique varie peu, celle-ci est compos\u00e9e d\u2019une s\u00e9quence r\u00e9p\u00e9titive d\u2019accords qui s\u2019enchainent tout au long des couplets et refrains. La r\u00e9alisation est instrumentalement proche du style Gangsta-Rap popularis\u00e9 par Dr.Dre. Avec le logiciel \u00ab Planet-Loops \u00bb, nous consid\u00e9rons les sommets du mod\u00e8le comme des tonalit\u00e9s de base dans lesquelles sera modul\u00e9e la phrase musicale r\u00e9p\u00e9titive. Il s\u2019agit donc, dans ce cas particulier, de vraies modulations au sens tonal du terme. Chaque phrase musicale ayant d\u00e9j\u00e0 sa propre structure harmonique. L\u2019exemple montr\u00e9 ici utilise les suites d\u2019accords suivantes : {Cm6, B7, Dm, A} pour l\u2019introduction et {Cm, Fm, G, Cm} pour le refrain et le couplet, o\u00f9 la rythmique et l\u2019orchestration diff\u00e8rent, mais la suite d\u2019accords reste la m\u00eame. Ces suites d\u2019accords seront modul\u00e9es en direct par le chanteur \u00e0 l\u2019aide du joystick, selon son appr\u00e9ciation. Il en ressort que, malgr\u00e9 le son synth\u00e9tique g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par l\u2019ordinateur, le ressenti est agr\u00e9able et inhabituel pour le chanteur et l\u2019auditeur.<\/p>\n

Le Rap ne module pas en g\u00e9n\u00e9ral, on rencontre parfois une ou deux modulations au cours d\u2019un titre, celles-ci s\u2019appliquant au refrain qui est repris dans une tonalit\u00e9 g\u00e9n\u00e9ralement un demi-ton ou un ton plus haut. Il n\u2019est pas tr\u00e8s ais\u00e9 pour un chanteur de suivre les modulations si elles s\u2019enchainent trop rapidement, le rappeur se concentre habituellement sur son phras\u00e9 et le rythme, l\u2019harmonie \u00e9tant une composante annexe pour ce type de musique.<\/p>\n

Apr\u00e8s plusieurs tentatives d\u2019adaptation, il a \u00e9t\u00e9 remarqu\u00e9 que les modulations ne doivent pas intervenir plus fr\u00e9quemment que toutes les deux ou quatre mesures (\u00e0 tempo 90) afin de laisser au chanteur le temps de s\u2019adapter. Les tonalit\u00e9s de base diff\u00e9rant d\u2019une tierce entre chaque, le passage n\u2019est pas tr\u00e8s abrupt et le chanteur s\u2019adapte facilement. Il est \u00e0 noter que m\u00eame si le rappeur d\u00e9clame un texte tr\u00e8s accentu\u00e9 rythmiquement, sans m\u00e9lodie vraiment perceptible et proche de la parole, l\u2019auditeur ressent toutefois l\u2019effet des modulations dans son chant. La production enregistr\u00e9e et pr\u00e9sent\u00e9e lors de la conf\u00e9rence est disponible sur ce site<\/a>. Afin d\u2019am\u00e9liorer le syst\u00e8me pour le Rap, il faudra utiliser des sons plus modernes et des boucles plus r\u00e9alistes.<\/p>\n

2. 4. L\u2019exp\u00e9rience de la techno<\/h3>\n
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S\u00e9ance Techno<\/p><\/div>\n

Les effets de modulation sont extr\u00eamement rares voir absents de la musique techno. Certains parmi les musiciens techno ne connaissent pas le solf\u00e8ge, en ont peur par principe, ou bien n\u2019en ont pas besoin pour exercer. D\u2019apparence facile et tr\u00e8s r\u00e9p\u00e9titive, la musique techno est \u00e9loign\u00e9e de la musique classique, elle requiert des connaissances et aptitudes diff\u00e9rentes. Les musiciens op\u00e9rant derri\u00e8re leurs platines trouvent leur int\u00e9r\u00eat dans la maitrise du son et l\u2019interaction avec le public dansant pendant de tr\u00e8s longues heures. Si elle ne module pas, la boucle principale change tr\u00e8s fr\u00e9quemment et varie selon des param\u00e8tres autres que l\u2019harmonie ou la m\u00e9lodie. Par exemple le timbre, le placement spatial, le m\u00e9lange avec des bruitages ou le tempo. L\u2019utilisation de filtres passe-haut et passe-bas associ\u00e9s aux modifications de hauteur sont tr\u00e8s usit\u00e9s et s\u2019op\u00e8rent manuellement durant la performance. Ce sont \u00e0 la fois le caract\u00e8re r\u00e9p\u00e9titif de cette musique et ses variations dans la continuit\u00e9 qui en font l\u2019int\u00e9r\u00eat et am\u00e8nent le danseur \u00e0 des \u00e9tats de transe. Le DJ pr\u00e9f\u00e8re se designer par le terme \u00ab liveur \u00bb (liver<\/em>) car il ne passe pas seulement des disques en soir\u00e9e mais cr\u00e9e sa musique en direct avec ses boites \u00e0 rythmes et \u00e9chantillonneurs (grooveboxes et samplers). Il m\u00e9lange en direct divers instruments rythmiques provenant de boucles et un minimum de m\u00e9lodie en jouant avec les effets. Le logiciel permet de changer la rythmique en direct beaucoup moins facilement qu\u2019avec le mat\u00e9riel habituel (table de mixage, et g\u00e9n\u00e9rateurs de boucles), mais il fut toutefois suffisant pour une premi\u00e8re exp\u00e9rience. En g\u00e9n\u00e9ral les modulations utilis\u00e9es en Techno se limitent \u00e0 parcourir en boucle deux accords proches (par exemple Am, A). Nous avons utilis\u00e9 pour cet exemple huit types de rythmiques qui ne modulent pas (Bass Drum, Kick, Charley) et six types de m\u00e9lodies modulantes (Bass, Melody…) Les m\u00e9lodies utilis\u00e9es dans ce cadre ne comportent que peu de notes et les variations sont surtout pr\u00e9sentes dans le timbre. Les lignes de basse ont \u00e9t\u00e9 compt\u00e9es parmi les m\u00e9lodies. \u00c0 cette heure, le logiciel ne g\u00e8re pas les effets d\u2019acc\u00e9l\u00e9ration et de ralenti utilis\u00e9s en techno, ce qui n\u2019est pas d\u00e9terminant car les tests ont \u00e9t\u00e9 effectu\u00e9s avec moins d\u2019\u00e9chantillons que pour un morceau habituel, et pour des dur\u00e9es de titre courtes, de l\u2019ordre de 3 minutes.<\/p>\n

Les tests ont \u00e9t\u00e9 effectu\u00e9s avec un DJ compositeur, liver<\/em> et producteur de musique techno, ne connaissant pas le solf\u00e8ge, habitu\u00e9 \u00e0 travailler avec des logiciels et du mat\u00e9riel de commerce. Il en est ressorti que l\u2019effet de modulation dans cette musique apportait des sensations nouvelles au DJ qui essayait le parcours harmonique comme un nouveau jouet et en appr\u00e9ciait les effets sans avoir besoin d\u2019en connaitre le fondement. L\u2019orchestration est tr\u00e8s rudimentaire , les modulations \u00e0 la tierce enchain\u00e9es \u00e0 la suite donnent une impression de progression cyclique sans fin, et ajoutent une touche inhabituelle \u00e0 cette musique tout en renfor\u00e7ant l\u2019impression de variation dans la continuit\u00e9, et sans modifier la composante rythmique essentielle \u00e0 ce style.<\/p>\n

D\u2019autre part, une production non interactive Peplum feat le Baron<\/em> a \u00e9t\u00e9 con\u00e7ue ind\u00e9pendamment de l\u2019exp\u00e9rience d\u00e9crite pr\u00e9c\u00e9demment en programmant au pr\u00e9alable une suite d\u2019accords selon un chemin issu du mod\u00e8le \u00ab Planet \u00bb dans le s\u00e9quenceur habituel du musicien. Ce dernier a pu alors mixer en direct la s\u00e9quence en utilisant sa table, ses filtres et ses effets familiers. Dans ce cas o\u00f9 le mod\u00e8le ne pouvait pas \u00eatre techniquement interactif, les effets de modulations \u00e9taient sensibles bien que non d\u00e9cid\u00e9s par l\u2019interpr\u00e8te.<\/p>\n

Afin de perfectionner le syst\u00e8me pour la techno, il faudra l\u2019interfacer avec du mat\u00e9riel existant dans le but d\u2019utiliser les effets de tempo, spatialisation et variation des fr\u00e9quences en direct et modifier la commande depuis le joystick afin de pouvoir superposer des boucles pr\u00e9d\u00e9finies.<\/p>\n

2. 5. L\u2019exp\u00e9rience de l\u2019orgue<\/h3>\n

L\u2019orgue de la cath\u00e9drale de Saint-Lizier est un instrument r\u00e9cemment restaur\u00e9 dans sa composition d’origine du XVIIe si\u00e8cle. Le mod\u00e8le \u00ab\u00a0Planet\u00a0\u00bb ainsi que les Tonnetze<\/em> construits \u00e0 partir du temp\u00e9rament \u00e9gal ne fonctionnent pas en th\u00e9orie avec le temp\u00e9rament in\u00e9gal de l\u2019orgue.<\/p>\n

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L\u2019orgue de Saint-Lizier<\/p><\/div>\n

La pratique l\u2019a confirm\u00e9. Cependant, les tests effectu\u00e9s avec l\u2019orgue ont \u00e9t\u00e9 probants dans la mesure o\u00f9 la musique produite correspondait au r\u00e9sultat attendu et \u00ab\u00a0d\u00e9rangeait l’oreille \u00bb dans certaines tonalit\u00e9s. En effet, un orgue de cath\u00e9drale n\u2019est pas accord\u00e9 au temp\u00e9rament \u00e9gal, tel un piano actuel (en th\u00e9orie), car cette organisation de sons n\u2019existait pas \u00e0 l\u2019\u00e9poque de sa conception. L\u2019orgue privil\u00e9gie naturellement les tonalit\u00e9s pour lesquelles il a \u00e9t\u00e9 con\u00e7u et est parfaitement adapt\u00e9 \u00e0 la musique de son \u00e9poque. Notons que le c\u00e9l\u00e8bre \u00ab clavier bien temp\u00e9r\u00e9 \u00bb de J.S Bach n\u2019est pas d’un temp\u00e9rament \u00e9gal o\u00f9 tous les \u00e9carts chromatiques sont identiques. Il permet, par contre, de jouer juste dans chaque tonalit\u00e9, avec une couleur diff\u00e9rente, ce qui n\u2019est pas le cas avec l\u2019instrument de la cath\u00e9drale. L\u2019improvisation s\u2019est d\u00e9roul\u00e9e \u00e0 deux mains et au p\u00e9dalier en jouant plut\u00f4t lentement afin de ressentir les effets souhait\u00e9s sans saturer l\u2019espace acoustique (la r\u00e9verb\u00e9ration \u00e9tait importante). Le logiciel ne g\u00e9n\u00e9rait pas d\u2019accompagnement sonore mais montrait seulement un chemin passant par les sommets du mod\u00e8le. Seuls les accords voisins (au sens th\u00e9orique du terme = diff\u00e9rant de peu d\u2019alt\u00e9rations) de la tonalit\u00e9 de base de l\u2019orgue sonnaient effectivement juste.<\/p>\n

Le fait de se d\u00e9placer de tierce en tierce cr\u00e9ait une impression tr\u00e8s inhabituelle, plut\u00f4t d\u00e9rangeante alternant le juste et le faux, t\u00e9moignant ainsi acoustiquement que le syst\u00e8me \u00ab Planet \u00bb ne fonctionne pas avec un temp\u00e9rament in\u00e9gal. Ceci s\u2019entend, bien s\u00fbr, pour une oreille ordinaire habitu\u00e9e \u00e0 la plupart de notre musique conventionnelle.<\/p>\n

2 6. Musique d\u2019ambiance \u00e9lectro<\/h3>\n

La musique d\u2019ambiance \u00e0 base \u00e9lectronique s\u2019adapte assez bien au logiciel et au syst\u00e8me. Nous avons test\u00e9 ses effets avec diff\u00e9rentes combinaisons de parties rythmiques et m\u00e9lodiques en restant dans une atmosph\u00e8re planante et sans rythmique excessive. Dans ce genre de musique, il est ais\u00e9 de cr\u00e9er des boucles avec une instrumentation changeante et \u00e9voluant sans grande discontinuit\u00e9. Les sons proviennent de synth\u00e9tiseurs pour les nappes et instruments solo, et de boucles rythmiques (drum loops) pr\u00e9enregistr\u00e9es pour la base de la partie accompagnante. En combinant huit types de boucles pour l\u2019accompagnement, et huit types pour la m\u00e9lodie, nous avons pu ainsi cr\u00e9er les impressions acoustiques diff\u00e9rentes qui pourraient accompagner des images et \u00eatre utilis\u00e9es par exemple, pour la production automatique de musique d\u2019ambiance libre de droits. Apr\u00e8s avoir g\u00e9r\u00e9 manuellement les passages d\u2019accords en faisant varier tr\u00e8s peu l\u2019accompagnement afin de mieux ressentir les effets des modulations, il a \u00e9t\u00e9 constat\u00e9 que les modulations donnaient des effets assez similaires. Le choix des d\u00e9placements harmoniques a donc \u00e9t\u00e9 laiss\u00e9 \u00e0 l\u2019ordinateur qui a g\u00e9n\u00e9r\u00e9 de fa\u00e7on al\u00e9atoire et en direct le parcours harmonique, l\u2019utilisateur ne jouant qu\u2019avec les param\u00e8tres de l\u2019orchestration : accompagnement et m\u00e9lodies. L\u2019utilisateur qui n\u2019agit que sur les param\u00e8tres de l\u2019orchestration n\u2019est aucunement g\u00ean\u00e9 par les modulations automatiques qui apportent \u00e0 ce genre de musique la sensation recherch\u00e9e d\u2019univers clos et de progression infinie. La musique d\u2019ambiance produite \u00e0 \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e en association avec des peintures num\u00e9riques dynamiques, utilisant aussi les principes de sym\u00e9trie et r\u00e9p\u00e9titions \u00e0 l\u2019infini12<\/a>,<\/sup>13<\/a><\/sup>.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

3. Conclusions et perspectives<\/h2>\n

Le mod\u00e8le \u00ab Planet 4D \u00bb s\u2019inscrit certes dans la lign\u00e9e des Tonnetze<\/em> existants d\u00e9crivant l\u2019espace des hauteurs, mais il apporte de nouvelles visualisations et une sensation de vraie sym\u00e9trie visuelle que seule une sph\u00e8re poss\u00e8de. Les id\u00e9ogrammes repr\u00e9sentant des notes voisines ne diff\u00e8rent que d\u2019un param\u00e8tre : forme ou couleur, le syst\u00e8me id\u00e9ographique original \u00e0 deux dimensions renforce la sensation d\u2019invariance. Le logiciel interactif exp\u00e9rimental d\u00e9velopp\u00e9 pour tester le mod\u00e8le de fa\u00e7on dynamique fonctionne et donne des r\u00e9sultats conformes en ce qui concerne les musiques conventionnelles test\u00e9es, dans le cadre des chemins sym\u00e9triques. Le mod\u00e8le montre ses limites comme par exemple dans le cas de tests avec un orgue de cath\u00e9drale. Le logiciel sera am\u00e9lior\u00e9 afin de mieux r\u00e9pondre aux diff\u00e9rents besoins des diverses cat\u00e9gories d\u2019utilisateurs. Le mod\u00e8le \u00ab Planet 4D \u00bb est \u00e0 la base un espace de hauteurs, il est utilis\u00e9 aussi dynamiquement comme espace d\u2019accords, chaque accord \u00e9tant de m\u00eame type : mineur – majeur. Il est pr\u00e9vu de r\u00e9aliser un mod\u00e8le 4D repr\u00e9sentant le Tonnetz<\/em> avec ses douze notes et les vingt-quatre accords \u00e0 trois sons, toujours de fa\u00e7on sym\u00e9trique en hyperespace. Dans ce cas nous pourrons utiliser dynamiquement le mod\u00e8le pour visualiser la technique conduite de parcimonie de voix<\/em> sur une hypersph\u00e8re. Ce mod\u00e8le plus complet permettra de nouvelles visualisations g\u00e9om\u00e9triques de l\u2019harmonie contenue dans des \u0153uvres existantes.<\/p>\n

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\nNotes<\/h3>\n
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1<\/a> – ANDRETTA M. et AGON C, Formalisation alg\u00e9brique des structures musicales \u00e0 l’aide de la Set-Theory : aspects th\u00e9oriques et analytiques<\/em>, Montb\u00e9liard, Proceedings of JIM,2003.<\/p>\n

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2<\/a> – FORTE A., The Structure of Atonal Music,<\/em>\u00a0Yale University Press, New Haven,1973.<\/p>\n

\n

3<\/a> – DOUTHETT J et STEINBACH P., \u00ab Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition \u00bb, JMT<\/em>, Vol. 42, No. 2, pp. 241-263,1998.<\/p>\n

\n

4<\/a> – NEWTON I., Opticks: Or, A treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colours of Light, <\/em>English Edition, London, 1704<\/p>\n

\n

5<\/a> – RIEMANN H., Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen<\/em>, Jahrbuch Peters, 21\/22, pp. 1-26, 1914.<\/p>\n

\n

6<\/a> – WEBER G., Versuch einer geordeneten Theorie der Tonsetzkunst, <\/em>Mainz, B. Schotts S\u00f6hne, 1821.<\/p>\n

\n

7<\/a> – BALZANO G, \u00ab The group-theoretic description of 12-fold and microtonal pitch systems \u00bb,\u00a0Computer Music Journal<\/em>, 1980, pp. 66-84.<\/p>\n

\n

8<\/a> – NOLL T., Geometry of Chords. Department of Computer Science<\/em>, T.U, Berlin, 2001.<\/p>\n

\n

9<\/a> – MAZZOLA G., The Topos of Music,<\/em> Birkh\u00e4user Verlag, Basel, 2003.<\/p>\n

\n

10<\/a> – BALZANO G.,\u00a0op.cit.<\/em><\/p>\n

\n

11<\/a> – GOLLIN E., \u00ab Some Aspects of Three-Dimensional \u00ab\u00a0Tonnetze\u00a0\u00bb \u00bb, JMT<\/em>, Vol. 42, pp. 195-206,1998.<\/p>\n

\n

12<\/a> – GIULOLI C et BAROIN G., M\u00e9t\u00e9orologie, interactive musical and video show<\/em>, Centre Culturel Bellegarde, Toulouse, 2010.<\/p>\n

\n

13<\/a> – GIULOLI C, L\u2019\u0153uvre sans fin, digital painting and live performances,<\/em> Cit\u00e9 des sciences de la Villette, Paris, 2006.<\/p>\n

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Gilles Baroin Doctorant et Ing\u00e9nieur, INSA Lyon, Universit\u00e9 Toulouse – Jean Jaur\u00e8s gilles\/@\/baroin.org Pour citer cet article : Baroin, Gilles, \u00ab De Newton \u00e0 Riemann, Graphes et Graphisme : Interactions Math\u00e9matico-Musico-Plastiques. \u00bb, Litter@ Incognita [En ligne], Toulouse : Universit\u00e9 Toulouse Jean Jaur\u00e8s, n\u00b03 \u00ab Les Interactions II \u00bb, 2010, mis en ligne en 2010, disponible […]<\/p>\n","protected":false},"author":33,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[46549],"tags":[46697,46696,46694,46692,87,46554,46695,101945],"class_list":["post-761","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-article","tag-harmonie","tag-hyperespace","tag-mathematico-musique","tag-mathematiques","tag-musique","tag-n3","tag-tonnetz","tag-visualisation-geometrique","post-preview"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/761","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/users\/33"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=761"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/761\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4556,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/761\/revisions\/4556"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=761"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=761"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.univ-tlse2.fr\/littera-incognita-2\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=761"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}